中医白癜风医院在哪今天这个话题，是最近群里六年级甚至初中家长问的比较多，其中不少问题与计算有关，大家知道分数运算是高年级学生的一大难点，大多数的解决方案都是通过多做题来解决，昨日我已经写了一篇有关计算训练的文章，不过仅仅是针对到五年级的小学生的。
［小问题专栏］小学生如何进行计算训练？注意是训练，不是刷题！
尽管我也认同中学生需要一定程度上通过“刷题”来提高熟练度，但是我依然坚持，在没有理解原理的基础上去刷题是“事倍功半”的低效的事。
大多数时候在群里我只会告诉家长，我的课程对六年级孩子没有针对性，如果要补基础的话可以学习一下二阶段，因为二阶段提供了四则运算的原理性解释，包含了小学必须了解的所有算术上的重要概念。
但是，我想了想，还是准备通过这样一篇文章，让高年级乃至初中的家长理解算术基础逻辑的重要性，实际上我并不认为小学生的计算能力要达到卓越的水平，才叫基础打扎实，无休止地追求计算的极致，并没什么意义，基本上我仍然是“中庸主义”的，我认为算术的逻辑打通后，孩子的算术能力并不预示他未来的成就，甚至我私底下也讲过，计算达到“还可以的”水平，初中乃至高中都可能逆袭成为No1之类的奇迹学生，道理很简单，代数尽管以算术为基础，但其思考方式与算术是不同的，只要具备了一定的正确的对算术的理解，自然可以迁移到代数，如果一个孩子对代数产生极大兴趣，那么完全有可能激发出潜能来。
不过我这么说，并不代表，大家在孩子的小学时代应当忽视算术，或者应当提早教代数，对此我的态度都是否定的。
今天要讲的，正是整数四则运算的逻辑训练非常重要。
我思考来思考去，想举一个合适的例子作为开篇，结果发现二胎之后，记忆力又直线下降，刚想到一个很有意思的例子，但是居然想不起来出处在哪里，以至于我只能说出一个大概，大家就当一个故事传说来看吧，具体就别考究其来源和真实性了。
故事大概是这样的，大约几千年前，古埃及，人们已经有了初级的“代数”思维，他们把一堆不知道数量的果子，分成几份，古埃及的数学家就开始了他们的“分数”研究，在最古老的《莱因德纸草书》上记载着这样一个数学问题：如果有一堆果子，加上七分之一堆这样的果子，加起来一共是19，那么一堆果子到底是多少呢？
对于六七年级的学生来讲，肯定能够轻而易举列出一个方程，然后解答出来：是16又5/8
让我们先来看一下这个运算的过程：
是的，实际上，你不用方程，也依然可以直接列出一个分数除法的运算，得到结果。这里的重点，正是分数的除法。
我不知道古埃及的数学家是这么解决这个问题的，但我在另外一个典故中看到过古埃及数学家在分数问题上消耗了几百年，结果还是走了很多“冤枉路”，说明分数的确是一个非常难的问题，你可以理解现在的小朋友学习它是多么困难。
要想理解分数的除法是怎么进行的，我们必须从乘法讲起，因为除法是乘法的逆运算，但是你又不可能单纯用这样一句话就把孩子给打发了，要知道，逆运算实际上也是需要证明的，这里我们暂且放下数学证明，回到整数运算的逻辑上。
我们在学习除法的时候，强调过有两种理解，一种是平均除，一种是包含除。你可以通过平均除去理解小的数除以大的数——
你也可以用包含除来理解分数除法——
进而你可以把这种逻辑应用到分数运算上，并且把加法与乘法的关系延伸到分数运算上——
当我们把整数运算对乘除法算式的表征含义进行扩展的时候，就会发现，如果你训练孩子用数学的语言来表述一个“式子”，能够有效地锻炼他们的逻辑，并且在这样的过程中加深他们对运算的理解。
比如我在二阶段数学微课中就提供了一种不用“手写”的除法推理训练，和孩子讨论一下4除以2，以及2除以4可以如何理解？
进而在二阶段的后面一堂课中，我们又讨论了“8的多少倍是4”有语病吗？
如果根据除法的含义来讲，我们可以把“8除以4等于2”，理解为：“4的多少倍等于8”，或者“什么数的4倍是8”。
那么我们自然可以理解“4除以8就相当于问8的多少倍等于4”，“或者什么数的8倍是4”。
进而我们也可以理解“4是几的1/2倍”，就相当于4÷1/2。现在我们可以尝试4÷2/3会是怎么样的——
我们也可以尝试用语言来推导——
这里2/3，可以理解为两个1/3，也可以理解为（1/3）*2，所以，我们可以这样推理：
4是几的2倍？——4÷2=2
2又是几的1/3？——2÷1/3或者2*3=6
因此4÷2/3就可以写成：4÷2*3，它也等于4*3÷2，也就变成了4*3/2
于是，我们可以推出这样一个结论：分数相除的话，其实就是把除数倒过来，与被除数相乘就可以了。
在《如何唤醒数学脑》这本书中，日本数学家永野裕之讲过这样一个故事：
在吉卜利电影《儿时的点点滴滴》（又名《岁月的童话》）中，有一个经典的片段，是小学生五年级的主角妙子，在向高中生的姐姐请教分数的除法。
妙子：“什么叫做用分数除分数”啊？
姐姐：“什么？”
妙子：“2/3个苹果除以1/4，意思是不是就是把2/3个苹果平均分给4个人，看每个人拿到的苹果呢？”
姐姐：“嗯？嗯。。。”
妙子：“所以（一边画苹果一边想）1、2、3、4、5、6，每个人有1/6个。”
姐姐：“不对不对！你那是乘法！”
妙子：“为什么？如果是乘法的话，为什么数字会变少？”
姐姐：“把2/3个苹果除以1/4的意思是。。。（词穷）总之！你一直在讲苹果，害我搞不清楚啦！乘法就直接乘！除法就是把后面分数的分子分母颠倒过来的乘法，这样记就可以了！”
永野裕之说：“这段场景简直就是数学负面教育的缩影，虽然只有短短几句对话，却让我印象深刻。”
但是永野裕之表示小学数学的学习目标是为了在日常生活中迅速计算出正确答案，所以小学生只需要记住算法，按照规则计算就可以了。对此，我的理解是这样的：一方面，电影中的孩子是五年级，五年级孩子要真正掌握分数除法的确是有困难，但并不表示当一个孩子学习到分数除法的时候，可以不搞清楚原理就囫囵吞枣；另一方面，假如我们认可记住规则进行计算只是为了日常生活中能够迅速计算出正确答案，那么反过来，如果我们的目标是提高数学思维能力，自然你需要弄明白为什么要这样计算。
提升数学力的秘诀就是“停止背诵”
因为工作的关系，我时常被人问到这样的问题：
“如何才能学好数学呢？”
这时我都会回答：
“不要死记硬背。”
——《如何唤醒数学脑》永野裕之
在这本书中，永野裕之也提供了一个专题来讲解分数除法是怎么来的，为什么要颠倒分子分母用乘法来算，其运算过程和原理其实就是我前面举例的过程。
现在通过上面的一番“引经据典”的解释，大家似乎可以明白，这个过程中我们运用到了很多整数运算的法则以及概念解释，看起来我们这个话题也可以到此结束了。
但是我希望家长们可以印象更为深刻的是：数学的学习，不仅仅不要死记硬背，更需要通过不同的途径对于同一个问题进行探讨和研究，即便是孩子，也需要通过成人的引导与互动，有机会在不同形式中，发现数学问题是如何解决的，并寻求不同情景中的同样模式，不断发现，不断总结，思想才能升华，也只有通过这样的方式，才能提高一个人的抽象思维水平。
所以接下来，我还需要花费1/3篇幅的长度，来通过数轴解决分数除法的问题。现在，大家先回顾我前面的第3张图，这是我在讲除法的课程中举例的除法从“类包含”的角度解释的话，在数轴上的表示。现在我们则用“平均分”的方式，来说明数轴上如何进行分数的除法运算——
比如1/4÷2/3
把1/4平均分成三段，注意这里可以让孩子在方格纸上进行，以便于可以数出等长的线段。（假如我们用9格代表1/4，那么分成三段，每一段就是3格）
再把这一段扩展成两段，也就是乘2，于是就得到了6格。
再来对比一下，1/4如果是9格，那么1就是36格，而6格就是36格的1/6。
OK，我们现在通过最简单的“平均分”的概念得到了一个分数除法运算的结果。
但是这样显然不够，我们还需要证明，分数的除法就相当于乘上除数的倒数。让我们来进行一个更为复杂的“实验”——
5/8÷5/4为什么就等于5/8*4/5呢？
我们可以根据乘除法逆运算，用未知数的方式来理解，要求5/8÷5/4，就相当于求一个数乘5/4等于5/8，那么我们就可以用乘法来解决这个问题。
把某数分成4段，取5段长为5/8，这就是“某数乘5/4”的含义。
根据这个含义，你对照上面第二条数轴，可以反过来证明，5/8的1/5就是1/8（或者5个1/8加在一起等于5/8，也相当于1/8*5），既然5/4可以理解为1/4*5，4个1/8就等于1/2，所以5/8*4/5就等于1/2。
到此为止，我们把搞脑子的分数除法算是解释完了，用了三种方式：整数运算推导的方式；语言逻辑的方式；数轴的方式。当我们把这些方式结合起来，看到逻辑的相互依存和延伸，和孩子透彻地进行一番探讨，或许一天，或许两天，或许一周，这个问题也就可以彻底解决了。
这个过程中，你看到了，我们反复用到的无非就是小学整数运算，在乘法以及除法上的概念原理，不管是加法与乘法的关系，还是除法的两种涵义，锻炼孩子运用已知的知识进行逻辑推理，都成为其中理解分数运算的关键。
现在，我可以回到主题来总结：如果小学基础没有打好，整数四则运算原理没有搞通透，那么你宁可花半个学期的时间，把这一块补上，暑假正是一个好时机。同样的，对于正处于小学中高年级的孩子来讲，紧紧抓住当前学校的知识内容，沉住气，深入概念原理中去学习，针对性训练，比起盲目地送孩子去奥数机构拼题量，拼体力要来得好。
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